amustofa bogor

Matematika, Software, dan Earning Money

Landasan Pendidikan Matematika SMP

Abstrak : Matematika, bagi kebanyakan orang merupakan beban berat, ilmu yang terkunci dengan tujuh segel, yang dihadapi tanpa ada hubungan dengan kehidupan sehari-hari. Tetapi bagi sebagian kecil orang, matematika merupakan suatu kesenangan mental yang mengandung sifat ilmiah, suatu kunci untuk memahami gejala-gejala alam, teknik dan bermasyarakat. Mengapa terdapat dua macam pendapat yang sedemikian besar perbedaannya? Jawaban pertanyaan ini adalah bagaimana cara matematika diajarkan. Adalah tidak benar bahwa hasil belajar seseorang dalam matematika hanya karena mempunyai atau tidak mempunya bakat, dan rajin atau tidak rajinnya dalam mata pelajaran matematika .

  1. PENDAHULUAN
    Matematika berdasarkan etimologi, berarti ilmu pengetahuan yang didapat dengan bernalar. Bukan berarti ilmu lain diperoleh tidak melalui penalaran, akan tetapi dalam matematika lebih menekankan aktivitas dalam dunia rasio, sedangkan ilmu lain lebih menekankan hasil observasi atau eksperimen disamping penalaran. Disisi lain matematika dianggap sebagai ilmu tentang logika mengenai bentuk, sususan, besaran, dan konsep-konsep yang berhubungan satu dengan lainnya dan terbagi dalam tiga bidang, yaitu aljabar, analisis, dan geometri. Namun ada kelompok lain yang menganggap ilmu komputer dan statistika bukan bagian dari matematika (Materi PTBK Modul MTK-22). Telah disepakati bahwa karakteristik matematika diantaranya adalah :
    a. memiliki objek abstrak
    b. bertumpu pada lesepakatan
    c. berpola pikir deduktif
    d. memiliki simbol yang kosong dari arti
    e. memperhatikan semesta pembicaraan
    f. konsisten dalam sistemnya.

    Matematika yang diajarkan di sekolah adalah bagian-bagian dari matematika yang dipilih berdasarkan atau berorientasi pada kepentingan kependidikan dan perkembangan IPTEK. Bagian matematika yang dipilih diantaranya adalah matematika yang dapat menata nalar, membentuk kepribadian, menanamkan nilai-nilai, memecahkan masalah, dan melakukan tugas tertentu. Hal ini menunjukkan bahwa matematika sekolah tidaklah sepenuhnya sama dengan matematika sebagai ilmu. Dikatakan demikian karena tidak sepenuhnya sama, yaitu memiliki perbedaan antara lain:
    (1) penyajian,
    (2) pola pikir,
    (3) keterbatasan semesta,
    (4) dan tingkat keabstrakan.

    Tujuan pendidikan matematika SMP adalah:
    a. melatih cara berpikir dan bernalar dalam menarik kesimpulan
    b. mengembangkan aktivitas kreatif yang melibatkan imajinasi, intuisi, dan penemuan dengan mengembangkan pemikiran divergen, orisinil, rasa ingin tahu, membuat prediksi dan dugaan, serta mencoba-coba.
    c. Mengembangkan kemampuan memecahkan masalah.
    d. Mengembangkan kemampuan menyampaikan informasi atau mengkomunikasikan gagasan-gagasan.

    Penulis ketika akan memulai kegiatan pembelajaran di kelas, selalu menanyakan untuk apa siswa belajar matematika. Kebanyakan siswa menjawab agar siswa pandai berhitung. Penulis mencoba menyebutkan cabang-cabang dari matematika, dan menyebutkan bahwa berhitung adalah memang diperlukan tetapi ia hanya sebagian kecil saja dari matematika. Kemudian memberikan pertanyaan lain kepada siswa, yaitu apa yang kalian lakukan ketika merasa lapar? Sebutkan langkah-langkah yang kalian lakukan supaya kalian kenyang, dan sebutkan kemungkinan-kemungkinan yang dapat terjadi. Mulai dari sini penulis memberikan pemahaman untuk apa siswa belajar matematika.

    Bahwa dalam matematika ada persoalan yang dengan satu langkah saja dapat diselesaikan dan ada persoalan yang harus dipecahkan dengan banyak langkah. Pola-pola berpikir matematis lah yang diperlukan ketika nanti siswa menyelesaikan masalah dalam kehidupan, yaitu kemampuan algoritma berpikirnya. Mulai dari mempelajari masalah, membuat langkah-langkah untuk pemecahan masalah, mengumpulkan instrumen untuk memecahkan masalah, sampai dengan penarikan kesimpulan dari masalah tersebut. Penulis masih ingat betul ucapan Bapak Prof. DR. Ir. Andi Hakim Nasution ketika memberikan kuliah dulu, bahwa siswa belajar matematika bukan untuk bisa sesuatu tetapi bagaimana siswa mampu mempelajari masalah untuk memecahkan masalah tersebut, yang intinya bahwa matematika diajarkan untuk menanamkan pola pikir yang logis, kritis, jujur, kreatif dan eksploratif dalam memecahkan suatu masalah.

    Ketika melakukan pembelajaran dikelas, penulis tidak menyebutkan rumus untuk suatu pernyataan matematika, tetapi disebut sebagai pernyataan yang harus dibuktikan atau teorema. Ini dilakukan untuk menunjukkan bahwa pernyataan tersebut harus dibuktikan. Sedangkan kecenderungan para siswa berpikir bahwa rumus adalah suatu formula yang siap untuk digunakan tanpa harus tahu dari mana rumus tersebut didapat.

    Banyak guru matematika yang menanamkan pola dogmatis kepada siswanya. Seperti untuk menyelesaikan masalah matematika langsung siswa disodorkan rumus, yang tanpa basa-basi lagi disuruh digunakan. Jika siswa tidak kritis, maka siswa langsung menggunakan rumus tersebut tanpa pernah menanyakan dari mana rumus tersebut. Dan kejadian seperti ini terjadi hampir di setiap sekolah. Permasalahan seperti ini, penulis menganggap sebagai hal yang buruk bagi pendidikan nasional terutama berhubungan dengan penanaman pola pikir logis, kritis, jujur, kreatif, dan eksploratif yang dibebankan kepada mata pelajaran matematika.
    Menghubungkan antara tujuan pendidikan matematika SMP dengan kajian-kajian tersebut diatas, penulis mencoba meneliti pengaruh pembuktian pernyataan-pernyataan matematika terhadap hasil belajar matematika di kelas III SMP Negeri 7 Bogor.

  2. PEMBAHASAN
    1. KAJIAN TEORI
      Robert M. Gagne, secara garis besar ada dua macam objek yang dipelajari siswa dalam matematika, yaitu ubjek-objek langsung (direct objects) dab objek-objek tak langsung (indirect obeject). Objek-objek langsung dari pembelajaran matematika tardiri atas fakta-fakta matematika, keterampilan-keterampilan (prosedur-prosedur) matematika, konsep-konsep matematika, dan prinsip-ptinsip matematika.

      Objek-objek tak langsung dari pembelajaran matematika meliputi kemampuan berpikir logis, kemampuan memecahkan masalah, kemampuan berpikir analitis, sikap positif terhadap matematika, ketelitian, ketekunan, kedisiplinan, dan hal-hal lain yang secara implisit akan dipelajari jika siswa mempelajari matematika. Penjelasan tentang objek-objek langsung dari matematika:

      1. Fakta-fakta matematika adalah konvensi-konvensi (kesepakatan) dalam matematika yang dimasukkan untuk memperlancar pembicaraan-pembicaran (semesta) dalam matematika. Menurut Gagne, fakta hanya dapat dipelajari dengan dipakai berulang-ulang dan dihapal. Misal lambang untuk bilangan tujuh adalah �7� dan lambang untuk operasi penjumlahan adalah �+�.
      2. keterampilan-keterampilan matematika adalah operasi-operasi dan prosedur-prosedur dalam matematika, yang masing-masing merupakan suatu proses untuk mencari atau memperoleh suatu hasil tertentu.
      3. Konsep-konsep matematika. Konsep adalah suatu ide abstrak yang memungkinkan orang untuk mengklarifikasikan apakah sesuatu objek tertentu merupakan contoh atau bukan contoh dari ide abstrak tersebut. Suatu konsep yang berada dalam lingkup ilmu matematika disebut konsep matematika. Contoh konsep matematika diantaranya : segitiga, kubus, persamaan, bilangan cacah, variabel, konstanta, pangkat, perkalian, dan lain-lain.
      4. Prinsip-prinsip matematika. Prinsip adalah suatu pernyataan yang bernilai benar yang memuat dua konsep atau lebih dan menyatakan hubungan antar konsep-konsep tersebut.

      Contoh prinsip matematika :

      1. Hasil kali dua bilangan a dan b sama dengan nol jika dan hanya jika a=0 atau b=0.
      2. Luas trapesium adalah setengah dari hasil kali tinggi trapesium dengan jumlah sisi-sisi sejajarnya.
      3. Pada setiap segitiga siku-siku, kuadrat panjang sisi miring sama dengan jumlah kuadrat jumlah panjang kedua sisi siku-sikunya.

      Menurut Gagne, kegiatan belajar matematika tediri atas empat fase yang terjadi secara berurutan, yaitu :

      1. Fase aprehensi, yaitu siswa menyadari adanya rangsangan yang terkait dengan kegiatan belajar yang ia lakukan. Rangsangan tersebut bisa berupa materi pelajaran yang ada pada halaman sebuah buku, sebuah soal yang diberikan guru sebagai pekerjaan rumah, atau seperangkat alat peraga yang berguna untuk membantu dalam pemahaman konsep tersebut.
      2. Fase akuisisi, yaitu pemerolehan, penyerapan, atau internalisasi terhadap fakta, keterampilan, konsep, atau prinsip yang menjadi sasaran dari berbagai kegiatan belajar tersebut.
      3. Fase penyimpanan, yaitu siswa menyimpan hasil kegiatan belajar yang diperoleh dalam ingatan jangka pendek dan ingatan jangka panjang.
      4. Fase pemanggilan, yaitu berusaha memanggil kembali hasil-hasil belajar yang diperoleh dan telah disimpan dalam ingatan, baik menyangkut fakta, keterampilan, konsep, maupun prinsip. Fase ini terjadi biasanya ketika siswa mengerjakan soal-soal latihan, pada saat tes, tau pada saat mempelajari materi berikutnya yang ada kaitannya dengan materi pelajaran yang telah dipelajari sebagai prasyarat.

      Penguasaan suatu pengetahuan atau suatu kemampuan pada umumnya membutuhkan penguasaan terhadap pengetahuan atau kemampuan prasyarat. Pengetahuan atau kemampuan prasyarat ini pun memerlukan masing-masing memerlukan beberapa prasyarat pula, demikian seterusnya, sehingga terbentuk suatu susunan hirarkis dari berbagai pengetahuan atau kemampuan, yang disebut hirarkis belajar.

      Bila pengetahuan atau kemampuan prasyarat tersebut belum dikuasai oleh siswa, dipastika siswa tersebut tidak bias menguasai pengetahuan atau kemampuan yang dituju. Materi-materi pelajaran matematika pada umumnya tersusun secara hirarkis, materi yang satu merupakan prasyarat materi yang berikutnya.

    2. MEMBUKTIKAN PERNYATAAN-PERNYATAAN MATEMATIKA SEBAGAI UPAYA UNTUK MEMBENTUK POLA PIKIR YANG LOGIS, KRITIS, JUJUR, KREATIF DAN EKSPLORATIF

      Kaitan antara menemukan atau membuktikan suatu pernyataan matematika dalam suatu pembelajaran matematika dengan pembentukan pola pikir yang logis, kritis, jujur, kreatif, dan eksploratif, sebenarnya sudah jelas tergambar dari teori-teori yang dikemukakan diatas. Tetapi untuk lebih jelasnya akan diberikan beberapa contoh dan hubungannya dengan pola pikir siswa.

      Langkah-langkah yang digunakan dalam pembelajaran matematika ketika akan menemukan atau membuktikan suatu pernyataan matematika adalah :
      � terjemahkan setiap istilah dengan definisinya
      � analisa arti dari hipotesis dan kesimpulan
      � coba membuktikan dengan menggunakan salah satu dari metoda pembuktian
      Jika pernyataan berupa implikasi; coba buktikan dengan bukti langsung. Bila gagal, coba dengan bukti tak langsung. Bila tidak berhasil juga coba dengan bukti kontradiksi.

      Kepada para siswa perlu ditanamkan bahwa pernyataan yang akan ditemukan kebenarannya atau dibuktikan, benar atau salah pernyataan menjadi tanggung jawab bersama antara guru dan siswa.

      Contoh 1:
      Buktikan bahwa luas trapesium adalah setengah dari tinggi dikalikan dengan jumlah sisi-sisi sejajar.

      Penjelasan dan pembahasan:
      Beberapa hal yang diperoleh siswa pada pembuktian ini, diantaranya:
      siswa dituntut untuk berpikir sesuai konsep trapesium tentang bagaimana bangun datar trapesium terbentuk ditinjau dari sifat-sifatnya. Hal ini sudah pasti perlu pemikiran logis, jujur, dan kritis untuk menemukan hubungan luas trapesium dengan luas bangun datar lain yang sudah dipelajari sebelumnya. Sikap jujur disini terbentuk karena jika terdapat satu pernyataan yang tidak benar, maka pernyataan yang ditanyakan kebenarannya tidak akan terbukti.

      Siswa harus mengetahui bahwa garis AB sejajar dengan CD

      – Siswa dituntut untuk melakukan try and error yang implikasinya kepada sikap kreatif dan eksploratif untuk percobaan-percobaan membuat garis-garis bantuan, sehingga terbentuk bangun-bangun lain yang cara mencari luasnya sudah diketahui.

      Siswa dituntut  untuk memikirkan garis-garis bantuan yang harus dibuat sehingga terbentuk bangun-bangun datar lain yang sudah diketahui cara menghitung luasnya.
      Ditarik garis tinggi DE dan CF serta DE=CF sehingga terbentuk tiga buah bangun datar segitiga ADE, segitiga BCF, dan persegipanjang EFCD.

      Siswa diingatkan kembali cara untuk mencari luas segitiga dan persegi panjang, yaitu:


      Jika dijumlahkan ketiga bangun datar diatas, maka diperoleh luas bangun traspesium ABCD, yaitu

      Dapat dilihat bahwa DE merupakan tinggi trapezium, dan AB+CD merupakan sisi-sisi sejajar, sehingga terbukti bahwa luas trapesium adalah setengah dari tinggi dikalikan dengan jumlah sisi-sisi sejajar.

      Dapat diperoleh juga nilai tambah bagaimana membangun mental siswa untuk selalu kritis dan mampu mengungkapkan argument-argumen dari ide-ide yang dimiliki mereka .

      Contoh 2 :
      Tentukan sisa pembagian bilangan 21000 jika dibagi oleh 7!
      Asumsi siswa SMP belum memperoleh materi teori modula.
      Pertanyaan ini cocok diberikan pada saat mengajarkan materi Pola Bilangan dan Barisan Bilangan. Sepertinya pertanyaan tersebut bersifat kuantitatif, tetapi dalam proses pencarian hasil tersebut diperlukan proses kualitatif dan diperlukan juga pencarian pernyataan lain terlebih dahulu.
      Langkah-langkah :

      1. Biarkan siswa untuk bereksplorasi tentang perpangkatan, berapakah 21000. Tetapi pertanyaan tersebut tidak akan terjawab, karena kalkulator dan komputer pun tidak memiliki kemampuan untuk menghitung hasil tersebut.
      2. Pada langkah kedua ini guru berperan untuk memasukkan pemikiran-pemikiran logis kepada siswa, bahwa pertanyaan tersebut tidak bisa dijawab jika dihitung langsung. Tetapi bisa dicari jika ditemukan pernyataan lain untuk mencari hasil yang diinginkan.
      3. Jelas kepada siswa dengan metode tanya jawab bahwa
        2 1 = 2 jika dibagi 7 maka sisa pembagiannya 2
        2 2 = 4 jika dibagi 7 maka sisa pembagiannya 4
        2 3 = 8 jika dibagi 7 maka sisa pembagiannya 1
        2 4 =16 jika dibagi 7 maka sisa pembagiannya 2
        2 5 =32 jika dibagi 7 maka sisa pembagiannya 4
        2 6 =64 jika dibagi 7 maka sisa pembagiannya 1
        2 7 =128 jika dibagi 7 maka sisa pembagiannya 2
        2 8 =256 jika dibagi 7 maka sisa pembagiannya 4
        2 9 =512 jika dibagi 7 maka sisa pembagiannya 1
        Jelas dapat dilihat bahwa:
        2 jika dipangkatkan dengan 1,4,7 dan dibagi dengan 7 menghasilkan sisa 2
        2 jika dipangkatkan dengan 2,5,8 dan dibagi dengan 7 menghasilkan sisa 4
        2 jika dipangkatkan dengan 3,6,9 dan dibagi dengan 7 menghasilkan sisa 1

        Terdapat 3 kelompok sisa pembagian jika 2 n untuk n bilangan asli dibagi dengan 7, yaitu 2, 4, dan 1. kemudian siswa diajak untuk berpikir berada dikelompok manakah sisa pembagian dari 2 dipangkatkan dengan 1000 jika dibagi 7.

        Penulis meyakini bahwa disini akan terbentuk pola pikir siswa yang logis, kritis, jujur, kreatif, dan eksploratif, yaitu dengan membiarkan siswa untuk try and error mencari berada dikelompok manakah sisa pembagian dari 2 dipangkatkan dengan 1000 jika dibagi 7.

      4. Siswa diarahkan untuk melihat bentuk keteraturan dari pangkat-pangkatnya dan diminta melanjutkan barisan bilangan pangkat-pangkat tersebut:
        – Kelompok sisa pembagian 2 : 1, 4, 7, 10, 13, 17, � maka memilki barisan bilangan suku ke n :
        Un = 3n � 2
        – Kelompok sisa pembagian 4 : 2, 5, 8, 11, 14, 18, � maka memilki barisan bilangan suku ke n :
        Un = 3n � 1
        – Kelompok sisa pembagian 1 : 3, 6, 8, 12, 15, 18, � maka memilki barisan bilangan suku ke n :
        Un = 3n

      Maka dipastikan 1000 berada di Un=3n-2 dengan n =334
      Sehingga dapat disimpulkan bahwa sisa pembagian 21000 oleh 7 adalah 2.

      Contoh 2:
      Diketahui segitiga ABC dengan sudut A dua kali sudut B. Buktikan bahwa berlaku:
      a2 = b (b + c)

      Pembuktian dan Penjelasan:
      Banyak hal yang diperoleh dalam meyelesaikan permasalahan ini berkaitan dengan pembentukan pola pikir siswa yang logis, kritis, jujur, kreatif, dan eksploratif, yaitu:
      a. Berpikir logis dan kritis ketika bagaimana menterjemahkan bahasa kedalam bentuk gambar
      b. Kreatif dan eksploratif ketika mencoba mengaitkan antara materi-materi yang sudah dipelajari dan mencoba bereksperimen membuat gambar-gambar bantuan untuk menghubungkan gambar dengan pernyataan yang harus dibuktikan.

      Langkah-langkah :
      Buatkan gambar:


      Soal pembuktian ini penulis berikan kepada siswa kelas 3 pada materi kesebangunan. Dan satu hal lagi yang diperoleh, penulis melihat kepuasan dari wajah para siswa, dan bahkan sampai tepuk tangan begitu masalah tersebut dapat dibuktikan.

  3. SIMPULAN DAN SARAN

    Tujuan pokok pengajaran matematika di sekolah ialah menanamkan daya nalar. Matematika merupakan ilmu paling murni, yang hanya didasarkan pada akal budi manusia. Misalnya, titik itulah besaran matematis, hanya pemikiran lepas dari setiap pengalaman. Langkah-langkah matematika hanya berarah satu, menempuh jalan lurus, tidak pernah menyimpang. Semua kesimpulan harus diuji oleh logika yang mutlak. Menyimpang ke kiri atau ke kanan amat terlarang. Gauss seorang ahli matematika mengungkapkan bahwa matematika adalah ratunya ilmu, dalam dirinya sendiri matematika hampa akan arti, tetapi matematika merupakan pelayan bagi ilmu pengetahuan lain.

    Banyak guru matematika yang beranggapan bahwa selama kegiatan pembelajaran matematika semua materi yang diajarkan harus kontekstual, sehingga terkesan dipaksakan dan karakteristik matematika diabaikan. Dalam kegiatan pembelajaran matematika, diupayakan pada awal penanaman konsep awal digunakan pendekatan kontekstual agar siswa dapat memahami betul konsep tersebut.

    Dengan selalu membiasakan membuktikan suatu pernyataan matematika dalam setiap pembelajaran matematika diharapkan dapat menumbuhkan pola pikir yang logis, jujur, kritis, kreatif dan eksploratif. Nantinya ketika mereka bermasyarakat, setiap menerima pernyataan dalam kehidupan mereka tidak akan percaya begitu saja apa yang dikatakan orang, sebelum mereka melihat fakta, bukti, atau mengalami sendiri dari pernyataan-pernyataan yang ada. Algoritma berpikir matematis para siswa dapat terbentuk dan dapat diaplikasikan oleh mereka dalam memecahkan masalah kehidupan.

DAFTAR PUSTAKA:

  1. Hermann Maier,1995. Kompendium Didaktik Matematika. Bandung : PT. Remaja Rosdakarya.
  2. Departemen Pendidikan Nasional, 2003, Kurikulum Berbasis Kompetensi, Mata Pelajaran Matematika, Sekolah Menengah Pertama dan Madrasah Tsanawiyah, Draf Final.
  3. Departemen Pendidikan Nasional, 2004, Modul Materi Pelatihan Terintegrasi Matematika

Belum ada komentar.

Tinggalkan komentar